22. 只出现一次的数字 III

发表于 2019-02-05 更新于 2026-10-31 分类于 programming

题目

解析

所有元素只有两个出现一次，其余的出现两次，那么对所有的元素求异或和，那么最后求出来的肯定是出现过一次元素的异或和
接着，因为这两个元素不同，所以，这两个数字的异或和肯定有一位为1，假设第k位为1
那么将第k位为1的分为一堆，其余的分为另一堆
接下来的问题就是 列表中只有一个出现一次的数字，其余的出现两次这个问题了

【释】：这两堆肯定是第k位为1的为一堆，该堆中只有一个出现过一次，其余的数出现两次，最后，对这两堆分别求异或和就可以求出来了

代码1

vector<int> singleNumber(vector<int>& nums) {
    int s = 0;
    for(auto x : nums)
        s ^= x;
    int k = 0;
    while( !(s >> k & 1) )
        k++;
    int s1 = 0, s2 = 0;
    for(auto x : nums)
        if(x >> k & 1)
            s1 ^= x;
        else
            s2 ^= x;
    return vector<int>({s1, s2});
}

代码2

vector<int> singleNumber(vector<int>& nums) {
    int s = 0;
    for(auto x : nums)
        s ^= x;
    int k = 0;
    while( !(s >> k & 1) )
        k++;
    int s1 = 0;
    for(auto x : nums)
        if(x >> k & 1)
            s1 ^= x;
    return vector<int>({s1, s ^ s2});
}

【释】：因为 $s_1$ ^ $s_2$ = s，那么 s ^ $s_1$ = $s_2$，具体性质详见 `位运算的知识点以及常用技巧`

20. Hexo指令

发表于 2019-01-26 更新于 2026-10-31 分类于 software

init

1	$ hexo init [folder]

folder: 文件夹名字，或者说是博客名字。

新建一个网站。如果没有设置 folder ，Hexo 默认在目前的文件夹建立网站。

new

1	$ hexo new [layout] <title>

新建一篇文章。如果没有设置 layout 的话，默认使用 _config.yml 中的 default_layout 参数代替。如果标题包含空格的话，请使用引号括起来。

1	$ hexo new "post title with whitespace"

参数	描述
`-p`, `--path`	自定义新文章的路径
`-r`, `--replace`	如果存在同名文章，将其替换
`-s`, `--slug`	文章的 Slug，作为新文章的文件名和发布后的 URL

默认情况下，Hexo 会使用文章的标题来决定文章文件的路径。对于独立页面来说，Hexo 会创建一个以标题为名字的目录，并在目录中放置一个 index.md 文件。你可以使用 --path 参数来覆盖上述行为、自行决定文件的目录：

1	hexo new page --path about/me "About me"

以上命令会创建一个 source/about/me.md 文件，同时 Front Matter 中的 title 为 "About me"

注意！title 是必须指定的！如果你这么做并不能达到你的目的：

1	hexo new page --path about/me

此时 Hexo 会创建 source/_posts/about/me.md，同时 me.md 的 Front Matter 中的 title 为 "page"。这是因为在上述命令中，hexo-cli 将 page 视为指定文章的标题、并采用默认的 layout。

generate

1	$ hexo generate

生成静态文件。

选项	描述
`-d`, `--deploy`	文件生成后立即部署网站
`-w`, `--watch`	监视文件变动
`-b`, `--bail`	生成过程中如果发生任何未处理的异常则抛出异常
`-f`, `--force`	强制重新生成文件 Hexo 引入了差分机制，如果 `public` 目录存在，那么 `hexo g` 只会重新生成改动的文件。使用该参数的效果接近 `hexo clean && hexo generate`
`-c`, `--concurrency`	最大同时生成文件的数量，默认无限制

该命令可以简写为

$ hexo g

publish

1	$ hexo publish [layout] <filename>

发表草稿。

server

1	$ hexo server

启动服务器。默认情况下，访问网址为： http://localhost:4000/或 http://127.0.0.1:4000/。

选项	描述
`-p`, `--port`	重设端口
`-s`, `--static`	只使用静态文件
`-l`, `--log`	启动日记记录，使用覆盖记录格式

deploy

1	$ hexo deploy

部署网站。

参数	描述
`-g`, `--generate`	部署之前预先生成静态文件

该命令可以简写为：

$ hexo d

render

1	$ hexo render <file1> [file2] ...

渲染文件。

参数	描述
`-o`, `--output`	设置输出路径

migrate

1	$ hexo migrate <type>

从其他博客系统迁移内容。

clean

1	$ hexo clean

清除缓存文件 (db.json) 和已生成的静态文件 (public)。

在某些情况（尤其是更换主题后），如果发现您对站点的更改无论如何也不生效，您可能需要运行该命令。

list

1	$ hexo list <type>

列出网站资料。

version

1	$ hexo version

显示 Hexo 版本。

选项

安全模式

1	$ hexo --safe

在安全模式下，不会载入插件和脚本。当您在安装新插件遭遇问题时，可以尝试以安全模式重新执行。

调试模式

1	$ hexo --debug

在终端中显示调试信息并记录到 debug.log。当您碰到问题时，可以尝试用调试模式重新执行一次，并提交调试信息到 GitHub。

简洁模式

1	$ hexo --silent

隐藏终端信息。

自定义配置文件的路径

# 使用 custom.yml 代替默认的 _config.yml
$ hexo server --config custom.yml

# 使用 custom.yml 和 custom2.json，其中 custom2.json 优先级更高
$ hexo generate --config custom.yml,custom2.json,custom3.yml

自定义配置文件的路径，指定这个参数后将不再使用默认的 _config.yml。
你可以使用一个 YAML 或 JSON 文件的路径，也可以使用逗号分隔（无空格）的多个 YAML 或 JSON 文件的路径。例如：

# 使用 custom.yml 代替默认的 _config.yml
$ hexo server --config custom.yml

# 使用 custom.yml, custom2.json 和 custom3.yml，其中 custom3.yml 优先级最高，其次是 custom2.json
$ hexo generate --config custom.yml,custom2.json,custom3.yml

当你指定了多个配置文件以后，Hexo 会按顺序将这部分配置文件合并成一个 _multiconfig.yml。如果遇到重复的配置，排在后面的文件的配置会覆盖排在前面的文件的配置。这个原则适用于任意数量、任意深度的 YAML 和 JSON 文件。

显示草稿

1	$ hexo --draft

显示 source/_drafts 文件夹中的草稿文章。

自定义 CWD

1	$ hexo --cwd /path/to/cwd

自定义当前工作目录（Current working directory）的路径。

17. mihomo 说明

发表于 2019-01-24 更新于 2026-10-31 分类于 os

Mihomo 文件命名说明及使用建议

文件命名格式

命名结构:

1	mihomo-系统-架构-CPU优化等级-Go版本-Mihomo版本.格式

各字段含义

系统类型

名称说明

linux Linux系统

windows Windows系统

darwin macOS系统

android Android系统
CPU架构

名称说明

amd64 Intel/AMD 64位CPU, 最常见于PC和服务器

arm64 ARM 64位CPU, 如树莓派, ARM服务器

armv7 ARM 32位CPU

386 x86 32位CPU

名称	说明
linux	Linux系统
windows	Windows系统
darwin	macOS系统
android	Android系统

名称	说明
amd64	Intel/AMD 64位CPU, 最常见于PC和服务器
arm64	ARM 64位CPU, 如树莓派, ARM服务器
armv7	ARM 32位CPU
386	x86 32位CPU

amd64-v1/v2/v3 含义
v1, v2, v3 表示 AMD64 CPU 指令集优化等级, 不是 Mihomo 版本.

版本	CPU要求	性能	兼容性	适用场景
amd64-v1	基础 x86-64	普通	⭐⭐⭐⭐⭐	老旧CPU, 不确定CPU型号
amd64-v2	SSE4 等新指令	略高	⭐⭐⭐⭐	大多数2010年后的CPU
amd64-v3	AVX2 等高级指令	更高	⭐⭐⭐	较新的CPU, 支持AVX2

go120 含义
示例:
1
mihomo-linux-amd64-v2-go120-v1.19.29.gz
其中:
go120 表示该版本使用 Go 1.20 编译.
它不代表:
- CPU型号
- Linux版本
- Mihomo版本
  go120 主要用于提高旧系统环境的兼容性.

Linux版本选择建议

快速选择表

使用环境	推荐版本
普通Linux服务器	amd64-v2
2010年后CPU通用选择	amd64-v2
老Linux系统	amd64-v2-go120
不确定CPU	amd64-v1
新CPU固定环境	amd64-v3
ARM设备	arm64

老系统推荐

适用于:

CentOS 7
老旧Linux系统
老VPS环境

最大兼容版本

适用于:

不确定CPU型号
需要一份程序部署多台机器

新CPU性能版本

适用于:

Intel Haswell及更新CPU
AMD Ryzen系列

16. 电脑常用快捷键

发表于 2019-01-23 更新于 2026-10-31 分类于 os

Win10系统：

新增：

贴靠窗口：
Win + 左/右 > Win + 上/下 > 窗口可以变为 1/4 大小放置在屏幕 4 个角落。
切换窗口：
Alt + Tab（不是新的，但任务切换界面改进）。
任务视图：
Win + Tab（松开键盘界面不会消失）。
创建新的虚拟桌面：
Win + Ctrl + D。
关闭当前虚拟桌面：
Win + Ctrl + F4。
切换虚拟桌面：
Win + Ctrl + 左/右。

常用：

Win键桌面与开始菜单切换按键
Win + R 打开运行对话框
Win + Q 快速打开搜索
Win + I 快速打开Win10设置栏
Ctrl+Alt+Del 快速打开任务管理器
Alt+F4 关机快捷键

Windows键组合快捷键

Win + ←：最大化窗口到左侧的屏幕上（与开始屏幕应用无关）
Win + →：最大化窗口到右侧的屏幕上（与开始屏幕应用无关）1. Win+ ↑：最大化窗口（与开始屏幕应用无关）
Win+ ↓：最小化窗口（与开始屏幕应用无关）
Win+ SHIFT +↑：垂直拉伸窗口，宽度不变（与开始屏幕应用无关）
Win+ SHIFT +↓：垂直缩小窗口，宽度不变（与开始屏幕应用无关）
Win+SHIFT+←：将活动窗口移至左侧显示器（与开始屏幕应用无关）
Win+SHIFT+→：将活动窗口移至右侧显示器（与开始屏幕应用无关）
Win+ P：演示设置
Win+ Home：最小化所有窗口，第二次键击恢复窗口（不恢复开始屏幕应用）
Win+ 数字键：打开或切换位于任务栏指定位置的程序
Win+Shift+数字键：打开位于任务栏指定位置程序的新实例
Win+B：光标移至通知区域
Win+Break：显示“系统属性”对话框
Win+D：显示桌面，第二次键击恢复桌面（不恢复开始屏幕应用）
Win+E：打开我的电脑
Win+Ctrl+F：搜索计算机（如果你在网络上）
Win+G：循环切换侧边栏小工具
Win+L：锁住电脑或切换用户
Win+M：最小化所有窗口
Win+Shift+M：在桌面恢复所有最小化窗口（不恢复开始屏幕应用）
Win+R：打开“运行”对话框
Win+T：切换任务栏上的程序
Win+Alt+回车：打开Windows媒体中心
Win+U：打开轻松访问中心
Win+F1：打开Windows帮助和支持
Win+N：插件新笔记（OneNote）
Win+S：打开屏幕截图工具（OneNote）
Win+Q：打开Lync，Windows 8搜索功能移除了该快捷键
Win+A：接受所有来电（在microsoft Lync中）
Win+X：拒绝来电（在microsoft Lync中），如果Windows移动中心存在，该快捷键不起作用
Win+减号：缩小（放大镜）
Win+加号：放大（放大镜）
Win+Esc：关闭放大镜
Win+空格键：切换输入语言和键盘布局
Win+O：禁用屏幕翻转
Win+，：临时查看桌面
Win+V：切换系统通知信息
Win+Shift+V：反向切换系统通知信息
Win+回车：打开“讲述人”
Win+PgUp：将开始屏幕或开始屏幕应用移至左侧显示器
Win+PgDown：将开始屏幕或开始屏幕应用移至右侧显示器
Win+Shift+.：将应用移至左侧
Win+.：将应用移至右侧
Win+C：打开Charms栏（提供设置、设备、共享和搜索等选项）
Win+I：打开设置栏
Win+K：打开连接显示屏
Win+H：打开共享栏
Win+Q：打开应用搜索面板
Win+W：打开“设置搜索”应用
Win+F：打开“文件搜索”应用
Win+Tab：循环切换应用
Win+Shift+Tab：反向循环切换应用
Win+Ctrl+Tab：循环切换应用，切换时手动选择应用
Win+Z：打开“应用栏”
Win+/：恢复默认输入法
Win+J：显示之前操作的应用
Win+X：快捷菜单

常规(通用)的键盘快捷方式：

F1 显示帮助
Ctrl+Shift+Esc 打开任务管理器
Ctrl+A 全选
Ctrl+C 复制选择的项目
Ctrl+X 剪切选择的项目
Ctrl+V(或 Shift+Insert) 粘贴选择的项目
Ctrl+Z 撤消操作
Ctrl+Y 重新执行某项操作
Delete(或 Ctrl+D) 删除所选项目并将其移动到“回收站”
Shift+Delete 不先将所选项目移动到“回收站”而直接将其删除
F2 重命名选定项目
Ctrl+向右键将光标移动到下一个字词的起始处
Ctrl+向左键将光标移动到上一个字词的起始处
Ctrl+向下键将光标移动到下一个段落的起始处
Ctrl+向上键将光标移动到上一个段落的起始处
Ctrl+Shift 加某个箭头键选择一块文本
Shift 加任意箭头键在窗口中或桌面上选择多个项目，或者在文档中选择文本
Ctrl 加任意箭头键+空格键选择窗口中或桌面上的多个单个项目
Ctrl+A 选择文档或窗口中的所有项目
F3 搜索文件或文件夹
Alt+Enter 显示所选项的属性
Alt+F4 关闭活动项目或者退出活动程序
Alt+空格键为活动窗口打开快捷方式菜单
Ctrl+F4 关闭活动文档(在允许同时打开多个文档的程序中)
Ctrl+ Alt+Tab 使用箭头键在打开的项目之间切换
Ctrl+鼠标滚轮更改桌面上的图标大小
Win键 + Tab 使用 Aero Flip 31. D 循环切换任务栏上的程序
Ctrl + Win键 + Tab 通过 Aero Flip 31. D 使用箭头键循环切换任务栏上的程序
Alt+Esc 以项目打开的顺序循环切换项目
F6 在窗口中或桌面上循环切换屏幕元素
F4 在 Win资源管理器中显示地址栏列表
Shift+F10 显示选定项目的快捷菜单
Ctrl+Esc 打开“开始”菜单
Alt+加下划线的字母显示相应的菜单
Alt+加下划线的字母执行菜单命令(或其他有下划线的命令)
F10 激活活动程序中的菜单栏
向右键打开右侧的下一个菜单或者打开子菜单
向左键打开左侧的下一个菜单或者关闭子菜单
F5(或 Ctrl+R) 刷新活动窗口
Alt+向上键在 Win资源管理器中查看上一级文件夹
Esc 取消当前任务
插入 CD 时按住 Shift 阻止 CD 自动播放
左 Alt+Shift 在启用多种输入语言时切换输入语言
Ctrl+Shift 在启用多个键盘布局时切换键盘布局
右或左 Ctrl+Shift 更改从右到左阅读语言的文本阅读方向
Win资源管理器中的快捷键
Ctrl+N 打开新窗口
Ctrl+W 关闭当前窗口
Ctrl+Shift+N 新建文件夹
End 显示活动窗口的底端
Home 显示活动窗口的顶端
F11 最大化或最小化活动窗口
Ctrl+句点顺时针旋转图片
Ctrl+逗号逆时针旋转图片
Num Lock+数字键盘上的星号 (*) 显示所选文件夹下的所有子文件夹
Num Lock+数字键盘上的加号 (+) 显示所选文件夹的内容
Num Lock+数字键盘上的减号 (1. ) 折叠选定的文件夹
向左键折叠当前选项(如果它处于展开状态)，或者选择其父文件夹
Alt+Enter 打开所选项目的“属性”对话框
Alt+P 显示预览窗格
Alt+向左键查看上一个文件夹
Backspace(退格键)向上返回父文件夹
向右键显示当前选项(如果它处于折叠状态)，或者选择第一个子文件夹
Alt+向右键查看下一个文件夹
Alt+向上键查看父文件夹
Ctrl+Shift+E 显示所选文件夹上面的所有文件夹
Ctrl+鼠标滚轮更改文件和文件夹图标的大小和外观
Alt+D 选择地址栏
Ctrl+E 选择搜索框
Ctrl+F 选择搜索框

在对话框中使用的快捷键

Ctrl+Tab 在选项卡上向前移动
Ctrl+Shift+Tab 在选项卡上向后移动
Tab 在选项上向前移动
Shift+Tab 在选项上向后移动
Alt+加下划线的字母执行与该字母匹配的命令(或选择选项)
Enter 对于许多选定命令代替单击鼠标
空格键如果活动选项是复选框，则选中或清除该复选框
箭头键如果活动选项是一组选项按钮，则选择某个按钮
F1 显示帮助
F4 显示活动列表中的项目
Backspace 如果在“另存为”或“打开”对话框中选中了某个文件夹，则打开上一级文件夹

Word

Excel

PPT

15. 只出现一次的数字 II

发表于 2019-01-23 更新于 2026-10-31 分类于 programming

题目：

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现了三次。找出那个只出现了一次的元素。

说明

你的算法应该具有线性时间复杂度。你可以不使用额外空间来实现吗？

示例

1 2	输入: [2,2,3,2] 输出: 3

方法一

代码

int singleNum(vector<int>& nums)
{
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < 32; i++) {
        int count = 0;
        for(int j = 0; j < nums.size(); j++) {
            count += (nums[j] >> i) & 1;
        }
        res += (count % 3) << i;
    }
    return res;
}

解析

首先：为什么i < 32?
int型占4个字节，即32位，所以int的大小为 int$\in$ [$-2^{31}$, $2 ^ {31} -1$]
时间复杂度为：O(32n) <===> O(n)；
虽然是二进制，但是运算法则和十进制并无差异，变的只是进制而已；
因为要确定一个数字，所以$\%3$会让那个数字显示出来在二进制形式下，那个位置有1。

方法二

代码

int singleNum(vector<int>& nums) {
    int ones = 0, twos = 0;
     for(auto x : nums) {
         ones = (ones ^ x) & ~twos;
         twos = (twos ^ x) & ~ones;
     }
     return ones;

解析

从 自动机 的角度出发；
状态机：（举例：）

状态量	ones	twos
初始状态	0	0
一个1	1	0
两个1	0	1
三个1	0	0
3. 三个状态一循环，比如有6个1，则进行两轮循环，状态量为0 0

14. Office各版本下载

发表于 2019-01-22 更新于 2026-10-31 分类于 software

包括：在线版本和离线版本

阅读全文 »

13. unordered_map(哈希表)

发表于 2019-01-21 更新于 2026-10-31 分类于 programming

unordered_map是C++中的哈希表，可以在任意类型与类型之间做映射。

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4. 程序设计比赛-常用技巧

发表于 2019-01-19 更新于 2026-10-31 分类于 programming

无穷大

0x3f3f3f3f

freopen()

头文件

stdio.h 或者 cstdio (如果是C11，iostream似乎已经包含了，若是C98需要加上 #include <cstdio>)

声明

  1
FILE *freopen(const char *filename, const char *mode, FILE *stream)

参数

  - filename -- 文件名，用于存储输入输出的自定义文件名。
  - mode -- 文件打开的模式。和fopen中的模式（如: `r` -- "只读访问"、`w` -- "只写访问"、`a` -- "追加写入"）相同。
  - stream -- 一个文件，通常使用标准流文件。如：`stdin` -- 标准输入、`stdout` -- 标准输出、`stderr`(一般不用) -- 标准错误

模式
功能：实现重定向，把预定义的标准流文件定向到由path指定的文件中。标准流文件具体是指stdin、stdout和stderr。其中stdin是标准输入流，默认为键盘；stdout是标准输出流，默认为屏幕；stderr是标准错误流，一般把屏幕设为默认。

实例

stdout 到一个文本文件的重定向，即：把输出到屏幕的文本输出到一个文本文件中

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
   if(freopen("./output.txt","r",stdout)==NULL)
       fprintf(stderr,"error redirecting stdout\n");

   for(int i=0;i<10;i++)
       printf("%3d",i);

   printf("\n");
   fclose(stdout);

   return 0;
}

从文件 in.txt 中读入数据，打印到屏幕上

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int a, b;
    freopen("./in.txt", "r", stdin);
    // freopen("out.txt", "a", stdout);
    while (cin >> a >> b)
        cout << a + b << endl;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);

    return 0;
}

从文件 in.txt 中读入数据，计算加和输出到 out.txt 中

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int a, b;
    freopen("./in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "a", stdout);
    while (cin >> a >> b)
        cout << a + b << endl;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);

    return 0;
}

> Note: 一般常用的是 `6.2`，因为有些比赛的命令行不能粘贴，一个个的打又太麻烦了，这样就会方便很多

导入全部头文件

1	#include <bits/stdc++.h>

3. 由数据范围反推算法复杂度以及算法内容

发表于 2019-01-19 更新于 2026-10-31 分类于 programming

友情提示

一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。
在这种情况下，C++代码中的操作次数控制在 $10^7$ 为最佳。

下面给出在不同数据范围下，代码的时间复杂度和算法该如何选择：

n ≤ 30 => 指数级别, dfs+剪枝，状态压缩dp
n ≤ 100 => O(n3)O(n3)，floyd，dp
n ≤ 1000 => O(n2)O(n2)，O(n2logn)O(n2logn)，dp，二分
n ≤ 10000 => O(n∗n√)O(n∗n)，块状链表
n ≤ 100000 => O(nlogn)O(nlogn) => 各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、dijkstra+heap、spfa、求凸包、求半平面交、二分
n ≤ 1000000 => O(n)O(n), 以及常数较小的 O(nlogn)O(nlogn) 算法 => hash、双指针扫描、kmp、AC自动机，常数比较小的 O(nlogn)O(nlogn) 的做法：sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa
n ≤ 10000000 => O(n)O(n)，双指针扫描、kmp、AC自动机、线性筛素数
n ≤ $10^9$ => O(n√)O(n)，判断质数
n ≤ $ 10^{18} $ => O(logn)O(logn)，最大公约数

2. 位运算的知识点以及常用技巧

发表于 2019-01-19 更新于 2026-10-31 分类于 programming

位运算：

& （与）

eg:

1
2
3

1 0 1 
0 0 1 
0 0 1

| （或）

eg:

1
2
3

1 0 1 
0 0 1 
1 0 1

^ （异或）

运算规则：（不进位加法）

0 &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp; 0 ——> 0  
1 &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp; 0 ——> 1
0 &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp; 1 ——> 1  
1 &nbsp; &nbsp; &nbsp;  &nbsp; 1 ——> 0

不进位的加法

1 ^ 1 ==> 0 正常的话：1 + 1 = 20b,但是只看个位, 因此, 取0

运算法则：

交换律
结合律

即$(a^b)^c == a^{b^c}$
对于任何数x, 都有

$x^x=0, x^0=x$
自反性：

A XOR B XOR B = A xor 0 = A

~ （取反）

把 0 变成 1
把 1 变成 0

<< （左移）

eg:

1 2	1101 << 1 ===> 11010 1 << n <==> 2^n （向上取整）

>> （右移）

eg:

1101 >> 1 <==> 110
n >> x <==> $n \over 2^x$(向下取整)

技巧：

x + (-x)

经验：

将数组无穷大：memset(nums, 0x3f, sizeof(nums))
竞赛中少使用 #include <bits/stdc++.h> // 原因：编译的时间过长,时间会超时
转化成 long long 的形式：乘以 1ll,例子见——>快速幂算法模板—求 $a^b%p$
将大数组放到全局变量中

快速幂算法模板

求 $a^b$

long long quickPower(int a, int b)
{
    long long res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1)
            res *= 1ll * a;
        a *= a;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

求 $a^b%p$

int quickPowerMod(int a, int b, int p)
{
    int res = 1 % p;
    while(b) {
        if(b & 1)
            res = res * 1ll * a % p;
        a = a * 1ll * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

模运算法则

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p 

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p 

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p

位运算常用技巧

用异或来实现配偶

0, 1
2, 3
4, 5
6, 7
……

即(把每个整数异或一个1, 就可以得到他的配偶)

0 ^ 1 = 1,            1 ^ 1 = 0
2 ^ 1 = 3,            3 ^ 1 = 2
……
2k ^ 1 = 2k + 1,    (2k + 1) ^ 1 = 2k

用法

一般在图论里面, 写最小费用流时, 我们会存一个编的正向编和反向编, 会需要快速求出来一个数的反向编是什么

lowbit运算(树状数组的基础)

定义

快速的求出来整数n, 在二进制表示里面, 最低的一位1是哪个(或者说：n的二进制表示中最右边一个1)

效果

lowbit(1110011000) ——> 1000

实现

首先, 假设n的二进制是1110011000
然后, 对n取反, 得到：~n = 0001100111
接着, ~n+1  ===>  0001101000
紧接着, (~n + 1) & n ===> 0000001000 ===> 1000
最后, 由于-n = ~n + 1,所以lowbit就是：(-n) & n

代码实现

int lowbit(int n)
{
    return (-n) & n;
}

拓展

复杂度和1的个数有关和
可以快速求出来一个整数里面有多少个1
求n是2的整次方幂

解析:
$$
2^n == 1 << n
$$

$$
n & (-n) == n
$$

$$
otherwise, n & (-n) < n
$$

原码、反码、补码

正数

原码, 反码, 补码均相等。

负数

反码求法：
1. 符号位不变。
2. 其他位取反。
补码求法：
1.符号位不变。
2.其他位取反。
3.最后一位加1。

例子

以123和-123为例：

[123] 原码：01111011。反码：01111011。补码：01111011。
[-123]原码：11111011。反码：10000100。补码：10000101。

二进制转换成10进制

如果为正数, 则直接求即可
如果为负数, 取反+1, 然后求出数值前面加个负号。

题目

解析

【释】：这两堆肯定是第k位为1的为一堆，该堆中只有一个出现过一次，其余的数出现两次，最后，对这两堆分别求异或和就可以求出来了

代码1

代码2

【释】：因为 $s_1$ ^ $s_2$ = s，那么 s ^ $s_1$ = $s_2$，具体性质详见 位运算的知识点以及常用技巧

init

new

generate

publish

server

deploy

render

migrate

clean

list

version

选项

安全模式

调试模式

简洁模式

自定义配置文件的路径

显示草稿

自定义 CWD

Mihomo 文件命名说明及使用建议

文件命名格式

Linux版本选择建议

快速选择表

推荐版本

老系统推荐

最大兼容版本

新CPU性能版本

Win10系统：

新增：

常用：

Windows键组合快捷键

常规(通用)的键盘快捷方式：

在对话框中使用的快捷键

Word

Excel

PPT

题目：

说明

示例

方法一

代码

解析

方法二

代码

解析

无穷大

freopen()

头文件

声明

参数

导入全部头文件

友情提示

下面给出在不同数据范围下，代码的时间复杂度和算法该如何选择：

位运算：

& （与）

| （或）

^ （异或）

运算规则：（不进位加法）

不进位的加法

运算法则：

~ （取反）

<< （左移）

>> （右移）

技巧：

经验：

快速幂算法模板

模运算法则

位运算常用技巧

用异或来实现配偶

用法

lowbit运算(树状数组的基础)

定义

效果

实现

代码实现

【释】：因为 $s_1$ ^ $s_2$ = s，那么 s ^ $s_1$ = $s_2$，具体性质详见 `位运算的知识点以及常用技巧`